съем квартиры в тьмутаракани на месяц? :)

Может поискать сайт новгородской недвижимости (типа циана) и прозвонить?

я бы посмотрела циан, потом бы официальный сайт города - Доска объявлений.
Если всё в пустую, начала бы смотреть гостинки.

чем меньше населенный пункт - тем сложнее это сделать.

В идеале - заселиться в гостиницу, если она там есть и искать на месте.
варианты онлайн через авито и из рук в руки наверное тоже не стоит исключать.

Хорошо бы найти человечка из этих мест, который желает подзаработать. Чтоб он за небольшую плату что-нибудь подыскать
Найти такого человека можно в контакте или через авито

Вот несколько вариантов https://www.avito.ru/navashino/kvartiry/sdam

Авито?

а что ты будешь там делать? у нас там завод по розливу воды, и одно время мы снимали сотрудникам, привлекаемым из Мск туда работать, квартиры. Делать это надо через местные газеты и сарафанное радио.
Помимо Навашино посмотри рядом расположенные населенные пункты - Муром, Кулебаки и Выксу, ибо Навашино это по сути три улицы вокруг жд станции.

Сайт aibrnb смотрела? Посуточный съем через него сейчас вроде.

Мне кажетс, очень просто. Мы два лета назад поехали "вникуда" - в город моего детства (та еще Тмутаракань), и буквально на улице остановили парня, гулявшего с собакой, с вопросом, не сдает ли кто-нибудь из его знакомых жлье или может посоветует кого-нибудь. Через пятнадцать минут мы уже входили в двухкомнатную квартиру кого-то из его знакмых.
Да и объявлений, в принципе, на "доске гласности" возле магазина было полно...

Я тоже так думала, что кроме нас - никого, оказалось, что "всюду жизнь". Не сомневайтесь, езжайте, точно без проблем решите вопрос с жильем на месте.