я вот не понимаю, почему городские власти будут впаривать вам безвозмездное пользование

В Законе Москвы № 29 от 14.06.06 "Об обеспечении права жителей города Москвы на жилые помещения", ст. 26 указан список лиц

1. Жилые помещения по договору безвозмездного пользования предоставляются при наличии их желания жителям города Москвы следующих категорий:

1) детям-сиротам и детям, оставшимся без попечения родителей, лицам из их числа, достигшим возраста 18 лет, по окончании их пребывания в государственных и негосударственных образовательных учреждениях для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, в учреждениях социального обслуживания, в приемных семьях, детских домах семейного типа, нахождения на патронатном воспитании, при прекращении попечительства, по окончании обучения в учреждениях профессионального образования, по окончании службы в Вооруженных силах Российской Федерации или по возвращении из учреждений, исполняющих наказание в виде лишения свободы, если указанные граждане не имеют закрепленного жилого помещения или их возвращение в ранее занимаемые и сохраненные за ними жилые помещения невозможно;

2) гражданам пожилого возраста и инвалидам, проживающим в стационарных учреждениях социального обслуживания, в случае отказа от услуг стационарного учреждения социального обслуживания, освободившим жилые помещения в связи с их помещением в эти учреждения, если им не может быть возвращено ранее занимаемое ими жилое помещение, безвозмездно переданное в установленном порядке городу;

3) иным категориям жителей города Москвы в порядке, установленном городскими жилищными программами.

из этих трех пунктов тебе может подойти 3), но я пока не знаю таких городских программ, по которым оформляются договора безвозмездного пользования.