Может сказать что-то вроде "собачка ушла туда, где она снова сможет стать здоровой и молодой"? Есть же притча про мост радуги, может сказать, что когда собаки становятся старенькими, они уходят на радугу? и там им очень хорошо.
Ну вот мне кажется, это лучший вариант в данный ситуации. В слове "умерла" есть безысысходность, которую сложно сосознать ребенку. Что значит "умерла"? Как это? Малышу сложно понять, что жизнь может закончится, и собака просто перестала существовать. А вот принять теорию о том, что она ушла в другое место, где ей хорошо, проще.