смешалось много вопросов...

давай проясним несколько моментов:
1. прописка НЕ равно собственник.
мама может прописаться в квартиру А (где у тебя 1/3), ты можешь прописаться в квартиру Б (в комнату в коммуналке) - но от этого отношения собственности не изменятся. вариант - договор мены. но он возможен только если у мамы в собственности доля в квартире Б.

2. квартира в ипотеки - НЕ собственность банка. это собственность тех, кто указан в св-ви о регистрации права собственности. но до выплаты кредита квартира в залоге у банка, те продать ее просто так не получится.
3. прописаться в ипотечной квартире можно после оформления собственности, а это НЕ равно получению ключей. у нас друзья полтора года ждали, пока застройщик оформит собственность и им права передаст. но это при новостройке. при вторичке - се проще.
4. продать долю в коммуналке совсем не так просто как может показаться, особенно если нет выделенной площади и квартира целиком не продается. доля значительно дешевле части всей квартиры.
5. купив квартиру в мо, ты не обязана там прописываться (тем самым сохраняется московская прописка). но в этом случае коммунальные платежи за эту квартиру будут идти по повышенному тарифу.
6. условия ипотеки - нужно смотреть в банках с учетом застройщиков (некоторые банки работают с определенными застройщиками)
7. так как ипотечная квартира - ваша собственность, то сдавать можно.

а вот с материнским капиталом - там сложнее. точно помню, что доля на ребенка не пропорциональна фактически вложенной сумме и сильно больше