Ха...
Во-первых, ты не всегда можешь вызвать врача. У нас например при отите и соплях не было температуры и когда я говорила, что у нас 37,5 (врала по сути), меня педиатрица очень сильно ругала, что я ее отрываю от больных детей и вызвала на дом, хотя могла бы придти сама с ребенком в ПК. И ничего она никогда не записывает ни в карте, ни у себя, куда она ходила, зачем итп. Да тебе это и не нужно, я думаю, это ее проблемы. Это для начала.
Во-вторых, больничный она тебе сама должна предложить всякий раз, как ты вызываешь его. Если сама не спросит, говори ей "Мне нужен больничный!". Если ты в ПК, она тебя отправляет туда, где их выписывают, если ты дома, она по идее должна тебе сама его выписать, но в связи с новыми правилами не знаю, как теперь это делается.
В день открытия больничного ты должна будешь придти в ПК с паспортом.

Закрыть можешь в любой день (я брала и на 2 дня и на 3 дня и на 2 недели больничные, про 1 день - не знаю, обычно я "договаривалась" с руководителем, что он меня прикроет). Главное - сказать врачу, что "больничный закрывайте, а с ребенком дома будет муж/бабушка/кто у вас там". И конечно - только в часы приема врача. И этот день у тебя будет нерабочий. Подразумевается, что либо ты с выздоровевшим ребенком идешь в ПК и закрываешь, либо слезаешь с больничного, но оставляешь с кем-то ребенка дома.

Когда ребенок будет у бабушки и ему надо будет выписаться, то бабушке придется приехать с ребенком и идти к педиатру в часы его приема, чтобы педиатр удостоверился, что ребенок здоров и выписал справку. Справка и больничный не связаны.
Думаю, наиболее оптимально будет вам бабушку снаряжать приезжать к вам, чем возить ребенка к ней. Вобщем, сил набирайся заранее, поскольку по опыту знаю, что жесть жестянская. Сама готова уже уволиться нах... Нервы ни к черту. Что на больничном сидишь - тебя ненавидят из-за этого, что на работе сидишь - ты ненавидишь всех, которые не дают тебе посидеть с ребенком, а ты вся еще и нервничаешь, как там твой малыш. То еще удовольствие... Либо работу надо было изначально искать такую, где-нить в госструктуре или где лояльны к мамам с детьми или со свободным графиком... Мнев от не повезло.