Я как обычно советую Кипр. Как раз в прошлом году 3 первые недели июня там провели. Тепло, но ещё не жарко, море уже прогрелось, дул приятный ветерок. Единственное на последней неделе июня уже может быть жарко-жарко.
Ещё в июне были в Турции и на о.Кос в Греции. И там, и там уже тепло, но море прохладнее кипрского.