Нет, платить не придется, то есть сейчас нести 13 тыс в кассу нет необходимости. Единственное что бухгалтерия может сделать, это удержать долг из заработной платы (но не из пособия! это другая выплата), и то только с вашего письменного согласия и не более 20% излишне уплаченной суммы. Посмотрите ст. 137, 138 Трудового Кодекса. Там есть что-то по поводу счетной ошибки, но в вашем случае как-то на счетную ошибку не похоже.
Не могу подсказать зачем вам платят авансом. Больничные и пособие по БиР и ребенком рассчитывается строго на основании листка нетрудоспособности, и только после его предъявления.
Еще смутило "и так каждый месяц, каждый раз перерасчет". то есть так было до наступления отпуска по БиР, или до сих пор так платят?