Я не вижу смысла в антибиотиках да и вообще в лекарствах при таком остаточном кашле. У меня Машка прошлой осенью почти месяц кашляла точно так же - утром сильно, в течение дня почти ничего. Пили то один то другой сироп - без изменений. Бросили их пить, стали жить обычной жизнью - через некоторое время прошло.