Зависит от медучреждения. Где-то оригинал отдают на руки, себеб купию оставляют ( у врача устно просить).
Где-то все официально: Пишешь заявление на имя главврача с просьбой выдать копии исследований и сделать выписку из карты. дня через 3 рабочих обычно выдают. Выписку делать дольше, там переписывают всю инфу. что есть в карте (когда чем болел, что выписывали и т.п.). Копии анализов можно попытаться день в день получить.

А самый короткий способ - это прийти с фотоаппаратом. взять карту (если на руки дадут) либо прям в кабинете врача все сфотографировать. Отказать не имеют права - по ФЗ "О защите здоровья граждан" ты имеешь право знакомить с картой любым способом.