перевестись не просто можно, но и нужно. В старом садике берется заявление, что то типа, что ребенок выбыл (но мы сначала устроились в новый сад, а потом брали заявление в старом).
Устроить в детсад можно через госуслуги (по крайней мере год назад) - у них там постоянно процедура меняется. Найти конфликтную комиссию по ЮЗАО, позвони туда - тебе объяснят как сделать правильнее.
Выбираете 3 садика (по приоритетам) и вам дадут место в том из них, где будет место (если мест не будет, предложат другой сад).
про сады района не знаю, не подскажу.
=======
