Закрыть не может бабушка, если мама взяла. Там надо расписаться своей подписью (в нижнем правом углу), и паспорт свой предоставить, когда больничный будут вписывать в "амбарную" книгу.
У нас паспорт просят только когда взрослый больничный закрывают (т.е. во взрослой поликлинике), а в детской просто адрес спрашивают, никогда паспорт не спрашивали.