Врача не посоветую, но по поводу того, почему именно на этого могу сказать, что такое бывает.
Аллергия на конкретное животное. У на соседка много лет назад завела котенка, через 2-3 месяца ее стал изводить жуткий кашель, пошла к врачу, сказали на фоне аллергии, избавляйтесь от кота. Ей пришлось избавляться, кот плавно перекочевал к нам. Через некоторое время (несколько лет - 3-5, не помню) ее дочка снова притащила котенка, но другой породы, ангорец (первый типа сибиряка был), т.е. шерсть, а главное подшерсток другой. И ничего! Никакого кашля, никакой аллергии, все в порядке по сегодняшний день.
Еще пример: муж моей подруги обожал моего кота, кода в гости приходили, он с ним не расставался, но как только он брал его на руки, начинал дико чихать, до слез просто. Уходил - все проходило тут же.

Так что от этого котенка, видимо все же придется вам избавиться, наверняка с ним исчезнет и проблема, может и врач не понадобится. А позже может и сможете завести другого, но надо чтоб порода была другая, желательно, конечно, не сразу его забирать себе, а поробовать "пообщаться" с ним какое-то время на предмет аллергии.
Здоровья вам!