Чехол обязательно. Мы летали всегда с чехлом. Мы на бэби джоггер сами шили.
Видела так же просто в мусорный большой пакет заворачивают и все. По прилету просто разрывают его и выбрасывают. Так что если не найдете, то лучше уж в пакет, чем просто голую коляску.
Выдают когда как. Но в шереметьево и домодедово выдавали исключительно на ленте.