пусть заключат с тобой договор ГПХ.

за вранье ничего не будет.
Все зависит от того, насколько контора белая.
При поступлении на работу ты ОБЯЗАНА предоставить ряд документов (согласно ТК), в том числе и трудовую. И сделать дубликат - это твоя обязанность.
Ты не предоставляешь трудовую, если ранее нигде не работала. Тогда они ее заводят. Но если ты им принесешь справки 2-ндфл и справку об уплаченных в фонды взносах, то это УЖЕ говорит о том, что работа ранее была.

Я вижу только вариант ГПХ.
А по большому счету, главное - трудовой договор. Записи нынче может вообще не быть.
Скажи, что трудовая у тебя лежит в институте (ты там по субботам методистом работаешь), а к ним идешь по совместительству. Запись о совм-сте делать НЕ обязательно (это по желанию работника), вот ты и не желаешь.