Как правило врачи такие ситуации разруливают именно в пользу опоздавшего, потому что так проще: "ну он же записан раньше Вас!". У меня была такая ситуация - я просто сидела на стуле около двери, а эта "дама" прошла к врачу, как только открылась дверь. Не могла же я реально ее отталкивать?
Вообще - такие вещи нужно обсуждать с администрацией и реально катать жалобы на все это, администрация должна решать этот вопрос.