Сколько ей лет? Есть какая-то организация, которая предоставляет крышу над головой вот таим молодым мамочкам, попавшим в крайне затруднительную жизненную ситуацию.

Прописку у тети она могла сделать и без ее согласия до (кажется) 6 месяцев ребенка. Нежелание тети прописывать еще и ребенка/детей вполне понятно, если там нет близких доверительных отношений. Тетя и так много сделала, забрав ее когда-то к себе.

Как отсутствие прописки влияет на то, что он не платит алименты?

Ситуация, конечно, сложная, но квартиру от государства просто так любой бы не отказался получить, а по факту даже очередники с 30-летним стажем получают с трудом.