Ребенка можно выписать в никуда, в заявлении написать любой адрес, а по факту туда не прописать, здесь единственный вопрос к МФЦ, без заявления мамы это не делается. Нужно было либо твоё личное присутствие, либо нотариальное согласие, вот с этим вопросом я бы к начальнику МФЦ подошла.