я не знаю про недоношенных, не сталкивалась. Но вот мой ребенок доношенный, но мелкий в месяц свой довольно долго кашлял, от соплей. И старший тоже кашлял от соплей. И сейчас часто кашляют (от соплей). Ещё и при ангине кашляют. Просто глотка пересыхает и вызывает дискомфорт, от этого кашель, как вариант.
Надо проветривать и увлажнять воздух.
А грудь не берет, потому что изначально вас разлучили и ребенка из соски докармливали. Это обычная история. Но специалисты по ГВ в таких случаях по идее должны помочь.