Я не снимала, а сдавала свою квартиру, поэтому мои ответы с той стороны баррикад.
Через аг-во не обязательно. По сути у агента есть только договор, который он приносит на сделку. Никаких гарантий агент не дает. Можно попробовать поискать на форумах, где объявления вывешивают хозяева (мы так сдавали - через форум жильцов нашего ЖК)
С ребенком цена такая же.
Воду и свет (то, что по счетчикам) обычно оплачивает жилец. Я как хозяйка приходила с квитанциями, говорила: вот вы столько-то электричества нажгли, сумма с вас такая. Но физически шла оплачивать сама, чтоб быть уверенной что это сделано.
По ценам я совсем не знаю как сейчас, думаю от 35 тыс.