Олеся, привет! Разрешение от второго родителя необходимо для оформления визы. При наличии визы разрешение не требуется. Доверенность никогда не оформляли, когда ребенок едет с одним из родителей. На въезде в другую страну (испания, латвия, эстония, турция) ни разу ничего про родство не спрашивали, на выезде из России примерно в половине случаев спрашивали свидетельство о рождении (фамилии у мамы и ребенка разные). Поэтому свидетельство о рождении всегда берем с собой.